PORADNIK: Czy faza jest słyszalna? - Cz.II

W pierwszej części naszych rozważań o fazie i charakterystyce fazowej wspomniałem o tym, że zsumowanie dwóch identycznych sygnałów – najlepiej szerokopasmowych – ale przesuniętych w czasie względem siebie o stałą wartość skutkuje różnym przesunięciem fazy dla różnych częstotliwości, co powoduje powstawanie tzw. filtru grzebieniowego. Przyjrzyjmy się bliżej temu zjawisku.

Filtr grzebieniowy

Rysunek 1 przedstawia efekt filtru grzebieniowego wynikający z sumowania dwóch identycznych szerokopasmowych sygnałów o płaskiej charakterystyce amplitudowej, z których jeden względem drugiego jest opóźniony o 5 milisekund. Wcięcia w charakterystyce amplitudowej są spowodowane tym, że dla pewnych częstotliwości sygnały te są w przeciwfazie, tzn. są przesunięte względem siebie o 180 stopni (co widać wyraźnie na charakterystyce fazowej pod amplitudową, odpowiadającej przebiegowi fazy dla opisywanego przypadku sumowania fal). Powoduje to teoretycznie całkowite stłumienie energii dla częstotliwości odpowiadających tym wcięciom.

Rysunek 1. Efekt filtru grzebieniowego wynikający z sumowania dwóch identycznych sygnałów, z których jeden względem drugiego jest opóźniony o 5 milisekund.

Zauważamy, że pierwsze wcięcie w charakterystyce występuje przy 100 Hz. Dzieje się tak dlatego, że przy 5-milisekundowej różnicy w czasie 100 Hz odpowiada przesunięciu fazowemu równemu 180 stopni (połowa fali) i to powoduje sumowanie w przeciwfazie (czyli de facto odejmowanie) dla tej częstotliwości. Kolejne sekwencje wcięć występują przy 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 900 Hz, 1.100 Hz itd. Schemat tego jest taki, że odległości pomiędzy kolejnymi wcięciami wynikają z częstotliwości, dla której wielkość opóźnienia drugiego sygnału jest równa długości fali. W tym przypadku 5 ms odpowiada częstotliwości 200 Hz.

Wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z więcej niż jednym źródłem dźwięku, jeśli nie będziemy stali dokładnie w miejscu, w którym odległości od źródeł będą takie same, będziemy mieć do czynienia ze zjawiskiem filtru grzebieniowego. Jak widać na rysunku 2 – w którym mamy sytuację sumowania się sygnałów z dwóch źródeł, przesuniętych w czasie względem siebie o 1 ms – najbardziej zauważalne (a więc i słyszalne) „ubytki” w charakterystyce amplitudowej spowodowane efektem filtru grzebieniowego występują w  zakresie najniższych częstotliwości. Dla wyższych częstotliwości wcięcia zagęszczają się, toteż i szerokość „wyciętych” pasm jest mniejsza – jest to efekt logarytmicznej, a nie liniowej pracy naszego słuchu. Z tego powodu rozmieszczenie klastrów basowych w konfiguracji lewo-prawo sprawia największe problemy w uzyskaniu równomiernego pokrycia nagłaśnianej przestrzeni.

Rysunek 2. Efekt sumowania się sygnałów z dwóch źródeł, przesuniętych w czasie względem siebie o 1 ms.

Widać to wyraźnie na rysunkach 3a-d, gdzie zaprezentowano rozkład poziomu ciśnienia akustycznego dla dwóch źródeł wszechkierunkowych, znajdujących się w odległości 18 m od siebie, emitujących falę sinusoidalną o częstotliwości 25 Hz (a), 50 Hz (b), 80 Hz (c) i 125 Hz (d).

Rysunek 3. Rozkład poziomu ciśnienia akustycznego dwóch źródeł wszechkierunkowych, w odległości 18 m od siebie, emitujących falę sinusoidalną o częstotliwości: 25 Hz (a), 50 Hz (b), 80 Hz (c) i 125 Hz (d).

Sumowania fal

Obszary na rysunkach 3a-3d o kolorach „ciepłych” to miejsca w których sygnały z obu źródeł dodają się, zaś te miejsca, w których dominują kolory zimne (niebieski i granatowy) to obszary, gdzie sygnały odejmują się. Co ciekawe, gdy źródła przybliżymy do siebie, zaczną „zachowywać się” jak jedno źródło, bez tak drastycznych różnic w poziomach ciśnienia dźwięku w nagłaśnianym obszarze (rysunek 4a i 4b). To tłumaczy fakt, że najbardziej równomierne pokrycie nagłaśnianej przestrzeni uzyskamy w sytuacji, gdy mamy tylko jedno źródło dźwięku, np. centralny klaster basowy. Ale to znów temat na inny artykuł, wróćmy więc do rozważań fazowych.

Rysunek 4. Rozkład poziomu ciśnienia akustycznego dwóch źródeł wszechkierunkowych, w odległości 5 m od siebie, emitujących falę sinusoidalną o częstotliwości: 25 Hz (a), 50 Hz (b).

Spójrzmy teraz jak wygląda koherentne i niekoherentne sumowanie sygnałów z punktu widzenia charakterystyki częstotliwościowej. Rysunek 5 jest charakterystyką częstotliwościową sygnału szerokopasmowego naniesioną na charakterystykę filtru grzebieniowego, powstałego ze zsumowania tego sygnału z sygnałem opóźnionym o stałą wartość.

Rysunek 5. Charakterystyka amplitudowa sygnału szerokopasmowego naniesiona na charakterystykę filtru grzebieniowego, powstałego ze zsumowania tego sygnału z sygnałem opóźnionym o stałą wartość.

Zwróćmy uwagę, że szczyty „górek” pomiędzy wcięciami, są o 6 dB wyżej niż te same punkty obu sygnałów występujących osobno. Są to te miejsca, w których sygnały są w fazie i sumują się, dając w efekcie 6-decybelowe podbicie. Widać to bardzo dobrze na rysunku 6.

Rysunek 6. Sumowanie dwóch sygnałów będących w fazie (różnica faz 0 stopni).

Przy 90-stopniowej różnicy faz podbicie to wynosi 3 dB (rysunek 7),

Rysunek 7. Sumowanie dwóch sygnałów o 90-stopniowej różnicy faz.

zaś przy 120-stopniowej różnicy faz nie występuje ani podbicie ani stłumienie sygnału (z uwagi na to, że wypadkowa zsumowanych fal wypada dokładnie między dwoma sygnałami – rysunek 8). Faza sygnału wypadkowego będzie średnią arytmetyczną faz obu sygnałów składowych.

Rysunek 8. Sumowanie dwóch sygnałów o 120-stopniowej różnicy faz.

Przy 180 stopniach sygnały akustyczne mogą znosić się nawzajem o 30 lub 40 dB. Z elektronicznego punktu widzenia będzie to niemalże całkowite wytłumienie, większe niż 100 dB w stosunku do sygnału oryginalnego. Wszystkie wymienione wyżej przypadki to efekt koherentnego sumowania się sygnałów.

Jeśli natomiast uśrednimy pole powierzchni powstałe pod całą krzywą filtru grzebieniowego, uwzględniające podbicia i wycięcia charakterystyki, rezultatem tego będzie sygnał o poziomie o 3 dB wyższym niż poziom pojedynczego sygnału. To jest niekoherentne sumowanie i wynosi ono zawsze 3 dB dla uśrednionego pasma (jeśli sumujemy sygnały o jednakowej amplitudzie). Cóż to takiego jest to...

Sumowanie koherentne i niekoherentne

Mówimy, że źródła są koherentne, czyli spójne, jeśli mają one dokładnie określoną różnicę faz, stałą w czasie. Jeżeli natomiast różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych źródeł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany, czyli np. w jednej chwili są spełnione warunki dla maksimum (zerowa różnica faz, 6 dB wzrost poziomu zsumowanych sygnałów), za moment warunki pośrednie (przy różnicy faz pomiędzy 0 a 180 stopni), a jeszcze za chwilę warunki dla minimum (różnica 180 stopni powodująca znoszenie się fal), to wtedy mówimy, że te źródła są niespójne, albo inaczej niekoherentne.

Dla dociekliwych dwa zdania na temat skąd się bierze to, że w sumowaniu koherentnym, przy warunkach dla maksimum, zsumowanie dwóch jednakowych sygnałów da wynikowy poziom sygnału o 6 dB większy niż poziom poszczególnych sygnałów, a dla sumowania niekoherentnego będzie to ZAWSZE tylko 3 dB. Otóż wynika to z tego, że dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzględniając stałą różnicę faz), a potem, celem obliczenia natężenia, podnosimy otrzymaną amplitudę wypadkową do kwadratu. Natomiast dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, żeby obliczyć natężenia poszczególnych fal (w tym przypadku nie zwracamy już uwagi na różnicę faz, bo ona cały czas się zmienia), a dopiero potem sumujemy te natężenia, celem otrzymania natężenia wypadkowego. Żeby to stało się jaśniejsze mały

Przykład

Jeśli mamy dwie fale akustyczne o amplitudzie 1 (Pa), to w sytuacji gdy będą one w fazie obliczenie wypadkowej wartości natężenia przy sumowaniu koherentnym wyniesie:

(1 + 1)² = 2² = 4

Gdy sumujemy fale niekoherentnie nasze obliczenie będzie wyglądać:

1² + 1² = 1 + 1 = 2

Jeśli chcemy to przeliczyć na decybele, to z racji tego, że mamy już do czynienia nie z amplitudami ciśnienia, ale już z natężeniem dźwięku (amplituda do kwadratu to natężenie, a więc energia sygnału) wzór na obliczenie decybeli wyglądać będzie:

L = 10 log N, gdzie N to nasz wynik sumowania się fal (z poprzednich wzorów).

W pierwszym przypadku będzie to:

L = 10 log 4 = 10 * 0,602 = 6,02 dB

W drugim:

L = 10 log 2 = 10 * 0,301 = 3,01 dB

Co było do udowodnienia.

Chętni, w ramach pracy własnej, mogą – korzystając z powyższych wzorów – sprawdzić, czy będzie to również prawdziwe, gdy będziemy mieć dwa sygnały np. o amplitudzie 2 albo 5.

Na koniec dodam, że wzory te „obowiązują” również w sytuacji, gdy dodajemy dwa sygnały o różnych amplitudach. Z tym, że wtedy różnica między koherentnym a niekoherentnym sumowaniem nie będzie już wynosiła dokładnie 3 dB, i będzie tym mniejsza, im większa będzie różnica w sumowanych sygnałach (np. gdy jeden sygnał będzie miał 10 razy większą amplitudę, różnica pomiędzy sumowaniem koherentnym (dla zerowej różnicy faz) a niekoherentym będzie mniejsza niż 1 dB). Największa więc, i wynosząca dokładnie 3 dB, różnica jest wtedy, gdy sygnały są identyczne, a jeśli będą one o różnych amplitudach, różnica ta będzie ZAWSZE mniejsza od 3 dB.

W trzeciej części wrócimy do kwestii charakterystyki fazowej i spróbujemy odpowiedzieć na pytanie, jak ją właściwie odczytywać – na przykładzie charakterystyki fazowej zestawu głośnikowego.